决策树是以实例为基础的归纳学习算法。 它从一组无次序、无规则的元组中推理出决策树表示形式的分类规则。它采用自顶向下的递归方式，在决策树的内部结点进行属性值的比较，并根据不同的属性值从该结点向下分支，叶结点是要学习划分的类。从根到叶结点的一条路径就对应着一条合取规则，整个决策树就对应着一组析取表达式规则。
一棵决策树由以下3类结点构成：

• 根结点
• 内部结点（决策结点）
• 叶结点

其中，根结点和内部结点都对应着我们要进行分类的属性集中的一个属性，而叶结点是分类中的类标签的集合。如果一棵决策树构建起来，其分类精度满足我们的实际需要，我们就可以使用它来进行分类新的数据集。
这棵决策树就是我们根据已有的训练数据集训练出来的分类模型，可以通过使用测试数据集来对分类模型进行验证，经过调整模型直到达到我们所期望的分类精度，然后就可以使用该模型来预测实际应用中的新数据，对新的数据进行分类。
通过上面描述，我们已经能够感觉出，在构建决策树的过程中，如果选择其中的内部结点（决策结点），才能够使我们的决策树得到较高的分类精度，这是难点。其中，ID3算法主要是给出了通过信息增益的方式来进行决策结点的选择。
首先，看一下如何计算信息熵。熵是不确定性的度量指标，假如事件A的全概率划分是(A1,A2,…,An)，每部分发生的概率是(p1,p2,…,pn)，那么信息熵通过如下公式计算：

Info(A) = Entropy(p1,p2,...,pn) = -p1 * log2(p1) -p2 * log2(p2) - ... -pn * log2(pn)

我们以一个很典型被引用过多次的训练数据集D为例，来说明ID3算法如何计算信息增益并选择决策结点，训练集如图所示：

上面的训练集有4个属性，即属性集合A={OUTLOOK, TEMPERATURE, HUMIDITY, WINDY}；而类标签有2个，即类标签集合C={Yes, No}，分别表示适合户外运动和不适合户外运动，其实是一个二分类问题。
数据集D包含14个训练样本，其中属于类别“Yes”的有9个，属于类别“No”的有5个，则计算其信息熵：

Info(D) = -9/14 * log2(9/14) - 5/14 * log2(5/14) = 0.940

下面对属性集中每个属性分别计算信息熵，如下所示：

• OUTLOOK属性

OUTLOOK属性中，有3个取值：Sunny、Overcast和Rainy，样本分布情况如下：
类别为Yes时，Sunny有2个样本；类别为No时，Sunny有3个样本。
类别为Yes时，Overcast有4个样本；类别为No时，Overcast有0个样本。
类别为Yes时，Rainy有3个样本；类别为No时，Rainy有2个样本。
从而可以计算OUTLOOK属性的信息熵：

Info(OUTLOOK) = 5/14 * [- 2/5 * log2(2/5) – 3/5 * log2(3/5)] + 4/14 * [ - 4/4 * log2(4/4) - 0/4 * log2(0/4)] + 5/14 * [ - 3/5 * log2(3/5) – 2/5 * log2(2/5)] = 0.694

• TEMPERATURE属性

TEMPERATURE属性中，有3个取值：Hot、Mild和Cool，样本分布情况如下：
类别为Yes时，Hot有2个样本；类别为No时，Hot有2个样本。
类别为Yes时，Mild有4个样本；类别为No时，Mild有2个样本。
类别为Yes时，Cool有3个样本；类别为No时，Cool有1个样本。

Info(TEMPERATURE) = 4/14 * [- 2/4 * log2(2/4) – 2/4 * log2(2/4)] + 6/14 * [ - 4/6 * log2(4/6) - 2/6 * log2(2/6)] + 4/14 * [ - 3/4 * log2(3/4) – 1/4 * log2(1/4)] = 0.911

• HUMIDITY属性

TEMPERATURE属性中，有2个取值：High和Normal，样本分布情况如下：
类别为Yes时，High有3个样本；类别为No时，High有4个样本。
类别为Yes时，Normal有6个样本；类别为No时，Normal有1个样本。

Info(HUMIDITY) = 7/14 * [- 3/7 * log2(3/7) – 4/7 * log2(4/7)] + 7/14 * [ - 6/7 * log2(6/7) - 1/7 * log2(1/7)] = 0.789

• WINDY属性

WINDY属性中，有2个取值：True和False，样本分布情况如下：
类别为Yes时，True有3个样本；类别为No时，True有3个样本。
类别为Yes时，False有6个样本；类别为No时，False有2个样本。

Info(WINDY) = 6/14 * [- 3/6 * log2(3/6) – 3/6 * log2(3/6)] + 8/14 * [ - 6/8 * log2(6/8) - 2/8 * log2(2/8)] = 0.892

根据上面的数据，我们可以计算选择第一个根结点所依赖的信息增益值，计算如下所示：

Gain(OUTLOOK) = Info(D) - Info(OUTLOOK) = 0.940 - 0.694 = 0.246
Gain(TEMPERATURE) = Info(D) - Info(TEMPERATURE) = 0.940 - 0.911 = 0.029
Gain(HUMIDITY) = Info(D) - Info(HUMIDITY) = 0.940 - 0.789 = 0.151
Gain(WINDY) = Info(D) - Info(WINDY) = 0.940 - 0.892 = 0.048

根据上面对各个属性的信息增益值进行比较，选出信息增益值最大的属性：

Max(Gain(OUTLOOK), Gain(TEMPERATURE), Gain(HUMIDITY), Gain(WINDY)) = Gain(OUTLOOK)

所以，第一个根结点我们选择属性OUTLOOK。

继续执行上述信息熵和信息增益的计算，最终能够选出其他的决策结点，从而建立一棵决策树，这就是我们训练出来的分类模型。基于此模型，可以使用一组测试数据及进行模型的验证，最后能够对新数据进行预测。

ID3算法的优点是：算法的理论清晰，方法简单，学习能力较强。
ID3算法的缺点是：只对比较小的数据集有效，且对噪声比较敏感，当训练数据集加大时，决策树可能会随之改变。

参考链接

• http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2196631.html
• http://hi.baidu.com/baole/item/5bf541c2456e0b5aad00ef13
• http://hi.baidu.com/kakashare/item/b353ce1f6a38def686ad4e64
• http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E7%86%B5
• http://lencomputer.pku.edu.cn/xk2008/lesson3/shannon/index.htm


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